GRUPOS:
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Sea un conjunto dotado de una operación interna (G, ∗) . Se dice que la
estructura es de grupo si cumple las propiedades asociativa,
existencia de elemento neutro y existencia de elemento simétrico. Si
además se verifica la propiedad conmutativa se dice que (G,∗ )es un grupo
abeliano o conmutativo.
Propiedades:
SUBGRUPOS:
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Un subconjunto S no vacío de un grupo ( G,∗) , es un subgrupo si
(S,∗) tiene estructura de grupo. Esto es:
1. ∀ a,b ∈ S, a *b ∈ S ,
2. El elemento neutro e de ( G,∗) pertenece a S
3. ∀ a∈ S , a′ ∈ S ,
CARACTERIZACIÓN DE SUBGRUPOS: Un subconjunto S
no vacío de un grupo ( G,∗) , es un subgrupo si y solo si:
ANILLOS:
Sea un conjunto A dotado de dos operaciónes internas, + y . Se
dice que la estructura ( A ,+,*) es de anillo si es un grupo conmutativo para
la ley + y la ley * cumple las propiedades asociativa y distributiva
respecto de + . Si además se verifica la propiedad conmutativa para esta
última, se dice que (A ,+,*) es un anillo abeliano o conmutativo. Si para la
ley x existe elemento neutro, entonces es un anillo unitario.
Propiedades:
• ∀a ∈A, a × 0 = 0× a= 0 (0 es el elemento neutro de +)
ELEMENTOS NOTABLES:
ANILLOS DE INTEGRIDAD:
Es un anillo sin divisores de cero. Si un anillo de integridad es
unitario y conmutativo se le llama DOMINIO DE INTEGRIDAD.
SUBANILLOS:
Un subconjunto S no vacío de un anillo ( A, +, ×) es un subanillo si
(S, +, ×) tiene estructura de anillo. Esto es:
1. ( S,+)es subgrupo conmutativo.
2. La ley × es cerrada en S . Esto es, ∀a,b ∈ S , a* b∈ S
CARACTERIZACIÓN DE SUBANILLOS: Un subconjunto S
no vacío de un anillo ( A , + ,×) es un subanillo si solo si:
CUESTIONES TEÓRICO-PRÁCTICAS:
Seleccione la respuesta correcta:
1.- Sean A y B dos conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la
solución de
2.- Sean A y dos conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la solución de
3.- Sean A y B dos conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la
solución de
4.- Sean A,B y C tres conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la
solución de
5.- Sean A, B y C tres conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la
solución de
6.- Sean A,B y C tres conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces:
7.- Sean A, dos conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces:
8.- Se establece en el conjunto de los números enteros una relación
binaria dada por:
xR y ⇔ x |Y|, x,y,z < ∈ Z
Entonces:
a) R es de equivalencia.
b) R es de orden.
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.
9.- Se establece en el conjunto de los números complejos una relación
binaria dada por:
Entonces:
a) R es una relación de orden total.
b) R es una relación de orden parcial.
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.
10.- Se establece en el conjunto de los números enteros una relación
binaria dada por:
Entonces:
a) R es simétrica.
b) es de equivalencia. R
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.
entonces la aplicación es:
a) Sobreyectiva.
b) Biyectiva.
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.
a) Sobreyectiva.
b) Inyectiva.
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta
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PROBLEMAS PROPUESTOS:
1.- Demostrar:
3.- Sabiendo que a los exámenes de Física y Matemáticas se han
presentado 100 alumnos, de los cuales 54 han aprobado Matemáticas, 75
Física y 40 las dos asignaturas. ¿Cuántos alumnos no han aprobado
ninguna de las dos asignaturas?
4.- En una encuesta realizada sobre 100 personas se han dado los
siguientes resultados: hay 20 personas que practican algún deporte, hay
30 que toman algún tipo de bebida alcohólica y hay 8 personas que hacen
ambas cosas. Se pide:
a) ¿Cuántas personas no practican ningún deporte pero si
consumen bebidas alcohólicas?
b) ¿Cuántas personas practican algún deporte pero no consumen
bebidas alcohólicas?
c) ¿Cuántas no practican algún deporte o no consumen bebidas
alcohólicas?
5.- Sobre 100 estudiantes se hace una encuesta con el fin de conocer su
dominio de los idiomas Inglés, Francés, Alemán y Ruso. Se obtienen los
siguientes resultados: 27 hablan Inglés, 22 Francés, 12 Ruso, 10 hablan
Inglés y Francés, 9 Francés y Alemán, 5 Alemán y Ruso, 6 hablan Inglés,
Francés y Alemán y 19 hablan Inglés pero no Alemán. Además se sabe
que el número de los estudiantes que hablan Alemán es el triple de los
que sólo hablan Francés y que ninguno de los que habla Ruso habla
Francés ni Inglés. ¿Cuántos estudiantes hay que no hablen ninguno de
los cuatro idiomas referidos?
6.- En una convocatoria de examen al que concurrieron 100 alumnos se
sabe que aprobaron Cálculo 73, Álgebra 82, Física 77 y Química 89.
¿Cuántos alumnos “por lo menos” han aprobado las cuatro asignaturas?
7.- Sobre el conjunto de pares ordenados de números naturales se
establece la siguiente relación binaria:
( m ,n) R (r, s)⇔ m+ n = (n+ r) m, n, r, s ∈ N
Demostrar que dicha relación es de equivalencia.
8.- En el conjunto de los números enteros , se define la relación:
x Ry ⇔ x^2 −y^2 =x -y , x ,y ∈Z
Demostrar que es de equivalencia y hallar , cl( a) ∀a ∈ Z
9- En el conjunto de los número complejos C se define la relación
binaria:
( a+ bi )R (c+ di) ⇔ a
Demostrar que es una relación de o
Demostrar que es una relación de orden y decir de que tipo.
11 -En el conjunto de los número reales R se definen las siguiente aplicaciones:
a) y = 2x -3 .
Hallar en cada caso , dominio e imagen de la aplicación y decir de que tipo es cada una.
12.- En el conjunto de los número reales se definen dos aplicaciones,
f y g dadas por:
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