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Sunday, November 29, 2009

GRUPOS SUBGRUPOS ANILLOS CUESTIONES TEÓRICO-PRÁCTICAS

 Spanish math tests
By a teacher from spain

GRUPOS:


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Sea un conjunto dotado de una operación interna (G, ∗) . Se dice que la
estructura es de grupo si cumple las pr
opiedades asociativa,
existencia de elemento neutro y existencia de elemento simétrico. Si
además se verifica la propiedad
conmutativa se dice que (G,∗ )es un grupo

abeliano o conmutativo.

Propiedades:



SUBGRUPOS:

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Un subconjunto S no vacío de un grupo ( G,∗) , es un subgrupo si
(S,∗) tiene estructura de grupo. Esto e
s:

1. ∀ a,b ∈ S, a *b ∈ S ,
2. El elemento neutro e de ( G,∗) pertenece a S
3. ∀ a∈ S , a′ ∈ S ,

CARACTERIZACIÓN DE SUBGRUPOS: Un subconjunto S
no vacío de un grupo ( G,∗) , es un subgrupo si y solo si:



ANILLOS:

Sea un conjunto A dotado de dos operaciónes internas, + y . Se
dice que la estructura ( A ,+,*) es de anillo si es un grupo conmutativo para
la ley + y la ley * cumple las propiedades asociativa y distributiva
respecto de + . Si además se verifica la propiedad conmutativa para esta
última, se dice que (A ,+,*) es un anillo abeliano o conmutativo. Si para la
ley x existe elemento neutro, entonces es un anillo unitario.

Propiedades:

• ∀a ∈A, a × 0 = 0× a= 0 (0 es el elemento neutro de +)



ELEMENTOS NOTABLES:








ANILLOS DE INTEGRIDAD:

Es un anillo sin divisores de cero. Si un anillo de integridad es
unitario y conmutativo se le llama DOMINIO DE INTEGRIDAD.

SUBANILLOS:
Un subconjunto S no vacío de un anillo ( A, +, ×) es un subanillo si
(S, +, ×) tiene estructura de anillo. Esto es:

1. ( S,+)es subgrupo conmutativo.
2. La ley × es cerrada en S . Esto es, ∀a,b ∈ S , a* b S

CARACTERIZACIÓN DE SUBANILLOS: Un subconjunto S
no vacío de un anillo ( A , + ,×) es un subanillo si solo si:




CUESTIONES TEÓRICO-PRÁCTICAS:

Seleccione la respuesta correcta:


1.- Sean A y B dos conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la
solución de





2.- Sean A y dos conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la solución de



3.- Sean A y B dos conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la
solución de





4.- Sean A,B y C tres conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la
solución de



5.- Sean A, B y C tres conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la
solución de






6.- Sean A,B y C tres conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces:




7.- Sean A, dos conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces:

8.- Se establece en el conjunto de los números enteros una relación
binaria dada por:

xR y ⇔ x |Y|, x,y,z < ∈ Z

Entonces:

a) R es de equivalencia.
b) R es de orden.
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.


9.- Se establece en el conjunto de los números complejos una relación
binaria dada por:




Entonces:
a) R es una relación de orden total.
b) R es una relación de orden parcial.
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.

10.- Se establece en el conjunto de los números enteros una relación
binaria dada por:



Entonces:

a) R es simétrica.
b) es de equivalencia. R
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.



entonces la aplicación es:

a) Sobreyectiva.
b) Biyectiva.
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.



a) Sobreyectiva.
b) Inyectiva.
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta


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PROBLEMAS PROPUESTOS:

1.- Demostrar:




3.- Sabiendo que a los exámenes de Física y Matemáticas se han
presentado 100 alumnos, de los cuales 54 han aprobado Matemáticas, 75
Física y 40 las dos asignaturas. ¿Cuántos alumnos no han aprobado
ninguna de las dos asignaturas?


4.- En una encuesta realizada sobre 100 personas se han dado los
siguientes resultados: hay 20 personas que practican algún deporte, hay
30 que toman algún tipo de bebida alcohólica y hay 8 personas que hacen
ambas cosas. Se pide:
a) ¿Cuántas personas no practican ningún deporte pero si
consumen bebidas alcohólicas?
b) ¿Cuántas personas practican algún deporte pero no consumen
bebidas alcohólicas?
c) ¿Cuántas no practican algún deporte o no consumen bebidas
alcohólicas?

5.- Sobre 100 estudiantes se hace una encuesta con el fin de conocer su
dominio de los idiomas Inglés, Francés, Alemán y Ruso. Se obtienen los
siguientes resultados: 27 hablan Inglés, 22 Francés, 12 Ruso, 10 hablan
Inglés y Francés, 9 Francés y Alemán, 5 Alemán y Ruso, 6 hablan Inglés,
Francés y Alemán y 19 hablan Inglés pero no Alemán. Además se sabe
que el número de los estudiantes que hablan Alemán es el triple de los
que sólo hablan Francés y que ninguno de los que habla Ruso habla
Francés ni Inglés. ¿Cuántos estudiantes hay que no hablen ninguno de
los cuatro idiomas referidos?

6.- En una convocatoria de examen al que concurrieron 100 alumnos se
sabe que aprobaron Cálculo 73, Álgebra 82, Física 77 y Química 89.
¿Cuántos alumnos “por lo menos” han aprobado las cuatro asignaturas?

7.- Sobre el conjunto de pares ordenados de números naturales se
establece la siguiente relación binaria:

( m ,n) R (r, s)⇔ m+ n = (n+ r) m, n, r, s ∈ N

Demostrar que dicha relación es de equivalencia.

8.- En el conjunto de los números enteros , se define la relación:

x Ry ⇔ x^2 −y^2 =x -y , x ,y ∈Z


Demostrar que es de equivalencia y hallar , cl( a) ∀a ∈ Z

9- En el conjunto de los número complejos C se define la relación
binaria:
( a+ bi )R (c+ di) ⇔ a y b a,b,c,d ∈ R

Demostrar que es una relación de o
rden y decir de que tipo.


10.- En el conjunto de los número naturales N se define la siguiente


Demostrar que es una relación de orden y decir de que tipo.


11 -En el conjunto de los número reales R se definen las siguiente aplicaciones:
a) y = 2x -3 .

b) x +2y = 12.

Hallar en cada caso , dominio e imagen de la aplicación y decir de que tipo es cada una.




12.- En el conjunto de los número reales se definen dos aplicaciones,
f y g dadas por:



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Friday, November 27, 2009

ÁLGEBRA BÁSICA

ÁLGEBRA BÁSICA
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0.1.- NOCIONES DE LÓGICA

PROPOSICIÓN:
Es cualquier enunciado del cual se puede decir si es verdadero o
falso, pero no ambas cosas a la vez. Si una proposición es verdadera se le
asigna la letra V (o el valor 1) y si es falsa, la letra F (o el valor 0).
TAUTOLOGÍA: Es una proposición que siempre es verdadera.
ABSURDO: Es una proposición que siempre es falsa.

• Disyunción: p o q (p ∨ q).
• Conjunción: p y q (p ∧ q).
• Implicación: p ⇒ q (p → q). Se lee: Si p entonces q.
• Doble implicación: p ⇔ q (p ↔ q). Se lee: p si y sólo si q.Los


resultados de operar lógicamente con proposiciones quedan
determinados por los valores de verdad que se les asigna, los cuales
dependerán de los que tengan las proposiciones de partida. Éstos, se suelen
representar en las llamadas “tablas de verdad”. Las tablas de verdad de las
proposiciones definidas anteriormente son las siguientes:




PAnorama

FUNCIÓN PROPOSICIONAL:
Si p(x) es una expresión que se convierte en proposición al sustituir x
por un objeto matemático, entonces se dice que p es una función
proposicional. También hay funciones proposicionales con más de un
objeto matemático (p(x,y), p(x,y,z), …).

CUANTIFICADORES:
Universal: Si p(x) es una proposición verdadera para
cualquiera que se x, entonces se escribirá ∀ x, p(x), que se
lee “para todo x se verifica p”
Existencial:
a) Si p(x) es alguna vez una proposición verdadera para
al menos un cierto x, entonces se escribirá x, p(x),
que se lee “existe al menós un x para el que se
verifica p”

b) Si p(x) es una proposición verdadera para un único x,
entonces se escribirá ∃ x, p(x), que se lee “existe un
sólo x para el que se verifica p”

TEOREMAS:
En una teoría matemática, se llaman teoremas a las proposiciones
verdaderas relativas a los objetos matemáticos de la misma. Los teoremas
se suelen enunciar en forma de implicaciones, ya que por ser las
implicaciones proposiciones verdaderas son teoremas. Generalmente, los
términos teorema e implicación se consideran equivalentes.

DEMOSTRACIÓN: El proceso lógico que, a partir de una
proposición ya probada p, conduce a la veracidad de otra
proposición q, es la demostración del teorema p q. La
demostración de un teorema se puede hacer de varias formas:


• Directa: Si son ciertas p y p q, entonces también lo es q. ⇒
• Contrarrecíproca: Consiste en probar que (no q) (no p),
en lugar de probar p ⇒ q.

• Reducción al absurdo: Consiste en suponer que q es falsa,
con lo que la hipótesis pasa a ser p y (no q) y probar que de
ello se deduce alguna contradicción.'

REFUTACIÓN: Refutar un supuesto teorema p q, es
comprobar que es falso, lo que se indica poniendo p q. Para
ello, se puede suponer que p y q son ciertas y encontrar a partir de
ello una contradicción, o bien encontrando un contraejemplo, es
decir, dar algún caso concreto en el que p sea verdadera y q sea
falsa.

;'
0.2.- TEORÍA DE CONJUNTOS


CONJUNTO:
Se define un conjunto como una colección o reunión de elementos
bien definidos y diferenciables. Generalmente se utilizan letras mayúsculas
para designar un conjunto. Pueden expresarse de dos formas:
• Por extensión: Indicando todos y cada uno de sus elementos.
Normalmente se escriben los elementos del conjunto entre llaves
({...}).
• Por comprensión: Dando una propiedad que cumplan todos los
elementos del conjunto y sólo ellos.
Para indicar que un elemento “pertenece” a un conjunto se usa el
símbolo de pertenencia, ∈.



SUBCONJUNTO:
Un conjunto S es subconjunto de otro conjunto C , si todos los
elementos de S son elementos de C . En este caso al conjunto S también se
denomina “parte” de C . Para indicarlo se usa el símbolo de inclusión,
⊂ ⊃ ; ( S C ⊂ ; C S ⊃ ). La inclusión de conjuntos se puede entender de dos
formas:
• En sentido amplio: S C ⊆ .
• En sentido estricto: S C ⊂ .
CONJUNTO VACIO: Es el conjunto que no tiene ningún
elemento. Se denota por ∅ .

NJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL: Es el conjunto
al que pertenece “todo” elemento y del cual todos los conjuntos
son subconjuntos. Se denota por I (o por U ).
Nota: Se trata de un referencial al que pertenecen todos los
elementos de los conjuntos surgidos en una situación o problema
determinado. Si a un conjunto se le considera universal también lo
serán todos los conjuntos que lo contienen.

DIAGRAMAS DE VENN:
Son la representación en el plano de los conjuntos.




OPERACIONES CON CONJUNTOS:






CONJUNTOS DISJUNTOS Y COMPLEMENTARIOS:






CARDINAL DE UN CONJUNTO FINITO:







0.3.- APLICACIONES

PRODUCTO CARTESIANO:




Las aplicaciones, también llamadas “funciones” se suelen
representar por las letras letras , y se representan por:







DOMINIO DE LA APLICACIÓN: Es el subconjunto de
elementos del conjunto origen para los cuales existe imagen:

IMAGEN DE LA APLICACIÓN: Es el subconjunto de
elementos del conjunto imagen que tienen origen:






TIPOS DE APLICACIONES:
SOBREYECTIVA: Todo elemento del conjunto imagen tiene “al menos” un origen:



COMPOSICIÓN DE APLICACIONES:



APLICACIÓN INVERSA:



0.4.- RELACIONES BINARIAS







RELACIONES DE EQUIVALENCIA:
Una relación binaria se dice de equivalencia, si cumple las
propiedades reflexiva, simétrica y transitiva







Propiedades:
• Ninguna clase es vacía; a cl a ∈ ( )
• Los elementos pertenecientes a la misma clase están
relacionados entre sí.
• Las clases son disjuntas, ya que si dos clases tienen un
elemento común es porque son la misma clase. Por tanto,
una clase de equivalencia es definida por “cualquiera” de
sus elementos.


Conclusión: Cuando se define una relación de equivalencia sobre
un conjunto, todo elemento del conjunto pertenece a una clase y sólo
a una.



CONJUNTO COCIENTE: Toda relación de equivalencia
definida sobre un conjunto, origina en él una partición en clases
de equivalencia. Al conjunto formado por todas las clases de
equivalencia se denomina conjunto cociente. Se designa porA/R.

RELACIONES DE ORDEN:

Pueden ser de dos tipos:


EN SENTIDO AMPLIO: Si cumple las propiedades reflexiva,
antisimétrica y transitiva.
EN SENTIDO ESTRICTO: Si cumple las propiedades
antisimétrica y transitiva.


Además, si cumple la propiedad conexa se dice que es un ORDEN
TOTAL, en caso contrario será un ORDEN PARCIAL.

CONJUNTOS ACOTADOS:

Sea un conjunto ordenado por la relación R A ≡≤ y sea S A ⊂ ,
entonces:





El subconjunto S se dice que está acotado superior y/o
inferiormente si tienen alguna cota superior y/o inferior respectivamente.


EXTREMOS: Sea un conjunto ordenado y sea A S A ⊂ un
conjunto acotado, entonces se llama:

Extremo superior: La menor de todas las cotas superiores.
Extremo inferior: La mayor de todas las cotas inferiores.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS:



APLICACIÓN MONÓTONA:




FUNCIÓN ACOTADA:



0.5.- ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:

Dado un conjunto no vacío , se llama ley de composición interna u
“operación interna” a la aplicación:






Generalmente, estas leyes de composición u operaciones suelen
denotarse con los símbolos ∗ ⊥ + ⋅ , , , ,, ∆ … y se escribiría por ejemplo,
c= f(a,b) = a*b





LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNA:

Dados tres conjuntos cualesquiera no vacíos A B , y C , se llama ley
de composición externa u “operación externa” a la aplicación:




ESTRUCTURA ALGEBRAICA:
Es un conjunto dotado de una o varias leyes de composición internas
y/o externas.

MORFISMOS ENTRE ESTRUCTURAS:
HOMOMORFISMOS:




Propiedades:




Dependiendo del tipo de aplicación y de las estructuras, los
homomorfismos pueden clasificarse en:

MONOMORFISMO: Si es inyectiva. f
EPIMORFISMO: Si es sobreyectiva. f
ISOMORFISMO: Si es biyectiva. f
ENDOMORFISMO: Si ( ) E,∗ ≡ ( F, ∆) .
AUTOMORFISMO: Si ( E,∗) ≡ ( F, ∆) y f es biyectiva

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Sunday, November 8, 2009

Examples of Multimedia Applications

Examples of Multimedia Applications
The internet carries a large variety of exciting multimedia applications. There are three broad classes of multimedia applications: streaming stored audio/video, streaming live audio/video, and real-time interactive audio/video.

Streaming Stored Audio and Video



Document




In this class of applications, clients request on-demand compressed audio or video files that are stored on servers. Stored audio files might contain audio from a professor’s lecture, rock songs, symphonies, archives of famous radio broadcasts, or archived historical recordings. Stored video files might contain video of a professor’s lecture, full-length movies, prerecorded television shows, documentaries, video archives of historical events, cartoons, or music video clips. This class of applications has three key distinguishing features.

* Stored media. The multimedia content has been prerecorded and is stored at the server. As a result, a user may pause, rewind, fast-forward, or index through the multimedia content. The time from when a client makes such a request until the action manifests itself at the client should be on the order of one to ten seconds for acceptable responsiveness.
* Streaming. In a streaming stored audio/video application, a client typically begins playout of the audio/video a few seconds after it begins receiving the file from the server. This means that the client will be playing out audio/video from one location in the file while it is receiving later parts of the file from the server. This technique, known as streaming, avoids having to download the entire file (and incurring a potentially long delay) before beginning playout. There are many streaming multimedia products, including RealPlayer from RealNetworks [RealNetworks 2004], Apple’s Quicktime [Quicktime 2004], and Microsoft’s Windows Media [Microsoft Media Player 2004].
* Continuous playout. Once playout of the multimedia content begins, it should proceed according to the original timing of the recording. This places critical delay constraints on data delivery. Data must be received from the server in time for its playout at the client. Although stored media applications have continuous playout requirements, their end-to-end delay constraints are nevertheless less stringent than those for live, interactive applications such as Internet telephony and video conferencing.






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Streaming Live Audio and Video

This class of applications is similar to traditional broadcast radio and television, except that transmission takes place over the internet. These applications allow a user to receive a live radio or television transmission emitted from any corner of the world. (For example, one of the authors of this book often listens to his favorite Philadelphia radio stations when traveling. The other author regularly listened to live broadcasts of his university’s beloved basketball team while he was living in France for a year.)

Since streaming live audio/video is not stored, a client cannot fast-forward through the media. However, with local storage of received data, other interactive operations, such as pausing and rewinding through live multimedia transmissions are possible in some applications. Live, broadcast-like applications often have many clients who are receiving the same audio/video program. Distribution of live audio/video to many receivers can be efficiently accomplished using the IP multicasting techniques. At the time of this writing, however, live audio/video distribution is more often accomplished through multiple separate unicast streams. As with streaming stored multimedia, continuous playout is required, although the timing constraints are less stringent than for real-time interactive applications. Delays of up to tens of seconds from when the user requests the delivery/playout of a live transmission to when playout begins can be tolerated.

Real-time Interactive Audio and Video

This class of applications allows people to use audio/video to communicate with each other in real-time. Real-time interactive audio over the Internet is often referred to as Internet phone, since, from the user’s perspective, it is similar to the traditional circuit-switched telephone service. Internet phone can potentially provide private branch exchange (PBX), local, and long-distance telephone service at very low cost. It can also facilitate the deployment of new services that are not easily supported by the traditional circuit-switched networks, including Web-phone integration, group real-time communication, directory services, caller filtering, and more. There are hundreds of Internet telephone products currently available [VON 2004]. For example, users of Microsoft’s Instant Messenger can make PC-to-phone and PC-to-PC voice calls. With real-time interactive video, also called video conferencing, individuals communicate visually as well as orally. There are also many real-time interactive video products currently available for the Internet, including Microsoft’s NetMeeting. Note that in real-time interactive audio/video application, a user can speak or move at any time. For a conversation with interaction among multiple speakers, the delay from when a user speaks or moves until the action is manifested at the receiving hosts should be less than a few hundred milliseconds. For voice, delays smaller than 150 milliseconds are not perceived by a human listener, delays between 150 and 400 milliseconds can be acceptable, and delays exceeding 400 milliseconds can result in frustrating, if not completely unintelligible, voice conversations.


DownLoads

End of Examples of Multimedia Applications

This is from http://olivnet.com