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Sunday, November 29, 2009

GRUPOS SUBGRUPOS ANILLOS CUESTIONES TEÓRICO-PRÁCTICAS

 Spanish math tests
By a teacher from spain

GRUPOS:


http://www.4shared.com/file/XW9nNxf0/MAth_in_Spanish_.html
Sea un conjunto dotado de una operación interna (G, ∗) . Se dice que la
estructura es de grupo si cumple las pr
opiedades asociativa,
existencia de elemento neutro y existencia de elemento simétrico. Si
además se verifica la propiedad
conmutativa se dice que (G,∗ )es un grupo

abeliano o conmutativo.

Propiedades:



SUBGRUPOS:

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Un subconjunto S no vacío de un grupo ( G,∗) , es un subgrupo si
(S,∗) tiene estructura de grupo. Esto e
s:

1. ∀ a,b ∈ S, a *b ∈ S ,
2. El elemento neutro e de ( G,∗) pertenece a S
3. ∀ a∈ S , a′ ∈ S ,

CARACTERIZACIÓN DE SUBGRUPOS: Un subconjunto S
no vacío de un grupo ( G,∗) , es un subgrupo si y solo si:



ANILLOS:

Sea un conjunto A dotado de dos operaciónes internas, + y . Se
dice que la estructura ( A ,+,*) es de anillo si es un grupo conmutativo para
la ley + y la ley * cumple las propiedades asociativa y distributiva
respecto de + . Si además se verifica la propiedad conmutativa para esta
última, se dice que (A ,+,*) es un anillo abeliano o conmutativo. Si para la
ley x existe elemento neutro, entonces es un anillo unitario.

Propiedades:

• ∀a ∈A, a × 0 = 0× a= 0 (0 es el elemento neutro de +)



ELEMENTOS NOTABLES:








ANILLOS DE INTEGRIDAD:

Es un anillo sin divisores de cero. Si un anillo de integridad es
unitario y conmutativo se le llama DOMINIO DE INTEGRIDAD.

SUBANILLOS:
Un subconjunto S no vacío de un anillo ( A, +, ×) es un subanillo si
(S, +, ×) tiene estructura de anillo. Esto es:

1. ( S,+)es subgrupo conmutativo.
2. La ley × es cerrada en S . Esto es, ∀a,b ∈ S , a* b S

CARACTERIZACIÓN DE SUBANILLOS: Un subconjunto S
no vacío de un anillo ( A , + ,×) es un subanillo si solo si:




CUESTIONES TEÓRICO-PRÁCTICAS:

Seleccione la respuesta correcta:


1.- Sean A y B dos conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la
solución de





2.- Sean A y dos conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la solución de



3.- Sean A y B dos conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la
solución de





4.- Sean A,B y C tres conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la
solución de



5.- Sean A, B y C tres conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces la
solución de






6.- Sean A,B y C tres conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces:




7.- Sean A, dos conjuntos no disjuntos y no vacíos. Entonces:

8.- Se establece en el conjunto de los números enteros una relación
binaria dada por:

xR y ⇔ x |Y|, x,y,z < ∈ Z

Entonces:

a) R es de equivalencia.
b) R es de orden.
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.


9.- Se establece en el conjunto de los números complejos una relación
binaria dada por:




Entonces:
a) R es una relación de orden total.
b) R es una relación de orden parcial.
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.

10.- Se establece en el conjunto de los números enteros una relación
binaria dada por:



Entonces:

a) R es simétrica.
b) es de equivalencia. R
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.



entonces la aplicación es:

a) Sobreyectiva.
b) Biyectiva.
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.



a) Sobreyectiva.
b) Inyectiva.
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta


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PROBLEMAS PROPUESTOS:

1.- Demostrar:




3.- Sabiendo que a los exámenes de Física y Matemáticas se han
presentado 100 alumnos, de los cuales 54 han aprobado Matemáticas, 75
Física y 40 las dos asignaturas. ¿Cuántos alumnos no han aprobado
ninguna de las dos asignaturas?


4.- En una encuesta realizada sobre 100 personas se han dado los
siguientes resultados: hay 20 personas que practican algún deporte, hay
30 que toman algún tipo de bebida alcohólica y hay 8 personas que hacen
ambas cosas. Se pide:
a) ¿Cuántas personas no practican ningún deporte pero si
consumen bebidas alcohólicas?
b) ¿Cuántas personas practican algún deporte pero no consumen
bebidas alcohólicas?
c) ¿Cuántas no practican algún deporte o no consumen bebidas
alcohólicas?

5.- Sobre 100 estudiantes se hace una encuesta con el fin de conocer su
dominio de los idiomas Inglés, Francés, Alemán y Ruso. Se obtienen los
siguientes resultados: 27 hablan Inglés, 22 Francés, 12 Ruso, 10 hablan
Inglés y Francés, 9 Francés y Alemán, 5 Alemán y Ruso, 6 hablan Inglés,
Francés y Alemán y 19 hablan Inglés pero no Alemán. Además se sabe
que el número de los estudiantes que hablan Alemán es el triple de los
que sólo hablan Francés y que ninguno de los que habla Ruso habla
Francés ni Inglés. ¿Cuántos estudiantes hay que no hablen ninguno de
los cuatro idiomas referidos?

6.- En una convocatoria de examen al que concurrieron 100 alumnos se
sabe que aprobaron Cálculo 73, Álgebra 82, Física 77 y Química 89.
¿Cuántos alumnos “por lo menos” han aprobado las cuatro asignaturas?

7.- Sobre el conjunto de pares ordenados de números naturales se
establece la siguiente relación binaria:

( m ,n) R (r, s)⇔ m+ n = (n+ r) m, n, r, s ∈ N

Demostrar que dicha relación es de equivalencia.

8.- En el conjunto de los números enteros , se define la relación:

x Ry ⇔ x^2 −y^2 =x -y , x ,y ∈Z


Demostrar que es de equivalencia y hallar , cl( a) ∀a ∈ Z

9- En el conjunto de los número complejos C se define la relación
binaria:
( a+ bi )R (c+ di) ⇔ a y b a,b,c,d ∈ R

Demostrar que es una relación de o
rden y decir de que tipo.


10.- En el conjunto de los número naturales N se define la siguiente


Demostrar que es una relación de orden y decir de que tipo.


11 -En el conjunto de los número reales R se definen las siguiente aplicaciones:
a) y = 2x -3 .

b) x +2y = 12.

Hallar en cada caso , dominio e imagen de la aplicación y decir de que tipo es cada una.




12.- En el conjunto de los número reales se definen dos aplicaciones,
f y g dadas por:



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